最小二乘法的线性拟合

1. 最小二乘法的线性拟合

题中所给数据可表示为y(x)，即x=1、2、3、...、19，y(1)=0.898、y(2)=2.38、...、y(19)=81.8(见题);令Δ(x)=ae^(bx)-y(x)①，方差D=∑(x=1→19)[Δ(x)]^2②;②式分别对a、b求偏导，ðD/ða=2∑(x=1→19)Δ(x)e^(bx)③;ðD/ðb=2a∑(x=1→19)xΔ(x)e^(bx)④;令ðD/ða=0、ðD/ðb=0，则③、④变为:a∑(x=1→19)e^(2bx)=∑(x=1→19)y(x)e^(bx)⑤;a∑(x=1→19)xe^(2bx)=∑(x=1→19)xy(x)e^(bx)⑥;联立⑤、⑥即可求得a、b;⑤、⑥为超越方程，求解析解很困难，采用数值解法得:a≈0.23688176、b≈0.30897789，均方差=√D≈8.6553、最大偏差(绝对值)≈5.34(发生在x=17时)。

2. 如何应用最小二乘法进行实验曲线拟合

打开Excel，先将数据绘成线性图，然后在图表中添加趋势线，然后勾选：显示公式，就可以拟合出数据的公式了。
最小二乘法：
（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
拟合：
对给定数据点{(Xi，Yi)}(i=0,1，…，m），在取定的函数类Φ 中，求p(x）∈Φ，使误差的平方和E^2最小，E^2=∑[p(Xi)-Yi]^2。从几何意义上讲，就是寻求与给定点 {(Xi，Yi)}(i=0,1，…，m）的距离平方和为最小的曲线y=p(x）。函数p(x）称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x）的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

3. 最小二乘法的拟合

对给定数据点集合，在取定的函数类中，求，使误差的平方和最小，。从几何意义上讲，就是寻求与给定点集的距离平方和为最小的曲线y=p(x)。函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 最小二乘法的矩阵形式最小二乘法的矩阵形式为：其中 为 的矩阵， 为 的列向量， 为 的列向量。如果 （方程的个数大于未知量的个数），这个方程系统称为矛盾方程组（Over Determined System），如果 （方程的个数小于未知量的个数），这个系统就是Under Determined System。正常来看，这个方程是没有解的，但在数值计算领域，我们通常是计算 ，解出其中的 。比较直观的做法是求解 ，但通常比较低效。其中一种常见的解法是对 进行QR分解（ ），其中 是 正交矩阵（Orthonormal Matrix）， 是 上三角矩阵（Upper Triangular Matrix），则有  用MATLAB命令  x=R\(Q\b)可解得 。 最小二乘法的Matlab实现① 一次函数线性拟合使用polyfit（x,y,1）②多项式函数线性拟合使用 polyfit（x,y,n），n为次数拟合曲线x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。解：MATLAB程序如下：x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];p=polyfit(x,y,2)x1=0.5:0.5:3.0;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')计算结果为：p =0.5614 0.8287 1.1560即所得多项式为y=0.5614x^2+0.8287x+1.15560③非线性函数使用lsqcurvefit(fun,x0,x,y) a=nlinfit(x,y,fun,b0)最小二乘法在交通运输学中的运用交通发生预测的目的是建立分区产生的交通量与分区土地利用、社会经济特征等变量之间的定量关系，推算规划年各分区所产生的交通量。因为一次出行有两个端点，所以我们要分别分析一个区生成的交通和吸引的交通。交通发生预测通常有两种方法：回归分析法和聚类分析法。 回归分析法是根据对因变量与一个或多个自变量的统计分析，建立因变量和自变量的关系，最简单的情况就是一元回归分析，一般式为：Y=α+βX式中Y是因变量，X是自变量，α和β是回归系数。若用上述公式预测小区的交通生成，则以下标 i 标记所有变量；如果用它研究分区交通吸引，则以下标 j 标记所有变量。而运用公式的过程中需要利用最小二乘法来求解，上述公式中的回归系数根据最小二乘法可得：其中，式中的X拔是规划年的自变量值，Y拔是规划年分区交通生成（或吸引）预测值。

4. 最小二乘法拟合

a=2  -3794.2

5. 最小二乘法直线拟合汇总

首先最小二乘法是面对不连续的离散点。
  
 它的本质是求某些参数，估计值在整体下可以使误差ε最小。
                                                                                  
 对于离散点的直线拟合、曲线拟合是在满足误差最小的基础上，得出可以用数学函数式表达的可视化线图。
  
 
  
  
 直线拟合的例子：
  
 天气温度和冰淇淋销量的关系图：
                                          
 标记在坐标轴上：
                                          
 假设这种线性关系为：  
  
 分别标号：i,x,y
                                          
 总误差的平方为：  
  
 通过最小二乘法的思想：
                                          
 在误差式子中，不同的  ,  会导致不同的  ，根据多元微分的知识，
  
 当它们的偏微分等于0时，  可取最小值。
  
 
  
                                          
 上述方程组为线性方程组，求解方程组，得出  ,  的值。
  
 求得函数图像为：
  
 
  
                                          
 以上是直线拟合的主线步骤。
  
 对于如何求解线性方程组，接下来我们一块学习。
  
 拟合直线函数：  
  
 1、表示X,Y的向量
  
   
  
   
  
 2、函数参数向量
  
   
  
 3、构造矩阵  
  
   
  
 4、矩阵等式
  
   
  
 5、对  矩阵构造方阵
  
 方程两边同时左乘  的转置矩阵，得到方程  
  
 6、求系数向量

6. 最小二乘法多项式曲线拟合原理与实现

 最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。
   给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。
   1.使偏差绝对值之和最小
     
                                             
   2.使偏差绝对值最大的最小
     
                                             
   3.使偏差平方和最小
                                           按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为 最小二乘法 。
     
                                             
                                                                                                                                                                                                           Python运行环境与编辑环境；   Matplotlib.pyplot图形库，可用于快速绘制2D图表，与matlab中的plot命令类似，而且用法也基本相同。

7. matlab最小二乘法曲线拟合

用nlinfit（）函数拟合，得到
c= 0.02000000498，K = -1.000012511
拟合精度R=0.99999999999997925522105374252033

8. 最小二乘法拟合二元二次曲线，求取系数